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小学生奥数题:约数与倍数问题分析解答

作者: 浏览次数:801 发布日期:2016-01-12

  约数与倍数问题分析解答,供大家学习参考。

  已知x、y为正整数,且满足xy-( x+y )=2p+q,其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数,求所有这样的数对(x,y ) (x≥y )

  考点:约数与倍数.

  分析:此题需分类讨论,①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答:解:①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数).

  则由原方程,得

  ky•y-(ky+y)=2y+ky,

  ∵y≠0,

  ∴ky-(k+1)=2+k,

  ∴k(y-2)=3,

  当k=1时,x=5,y=5;

  当k=3时,x=9,y=3;

  ②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp,代入原式

  得:abp2-(ap+bp)=2p+abp,即abp-1=(a-1)(b+1)

  当p=1时,a+b=2,可求得a=1,b=1,此时不满足条件;

  当p>1时,abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

  此时,abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;

  综上所述,满足条件的数对有

  点评:本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a,b)×[a,b]=a×b.所以,求两个数的最小公倍数,就可以先求出它们的最大公约数,然后用上述公式求出它们的最小公倍数.

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